Lois de Newton - Mouvements dans un champ

 

 

I. Deuxième loi de Newton

1. Énoncé

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur un point matériel est égale à la dérivée, par rapport au temps, du vecteur quantité de mouvement du point matériel.

Σ F = d p dt MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaL4babaGaaGPaVlaaykW7cqqHJoWudaWhcaqaaiaadAeaaiaawEniaiabg2da9maalaaabaGaamizamaaFiaabaGaamiCaaGaay51GaaabaGaamizaiaadshaaaGaaGPaVlaaykW7caaMc8oaaaaa@4ABC@

 

Remarque : Cette loi permet de retrouver la première loi de Newton.

En effet, si Σ F = 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiabfo6atnaaFiaabaGaamOraaGaay51GaGaeyypa0Zaa8HaaeaacaaIWaaacaGLxdcaaaa@3FA9@  alors, d'après la deuxième loi de Newton d p dt = 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaamizamaaFiaabaGaamiCaaGaay51GaaabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0Zaa8HaaeaacaaIWaaacaGLxdcaaaa@4129@  et p = cte MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamiCaaGaay51GaGaeyypa0Zaa8HaaeaacaWGJbGaamiDaiaadwgaaiaawEniaaaa@4060@ .

 

2. Cas d'un point matériel de masse constante

Soit un point matériel de masse m. Soit V MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamOvaaGaay51Gaaaaa@3AC1@  son vecteur vitesse.

La dérivée de sa quantité de mouvement s’écrit d p dt = d( m V ) dt MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaaykW7daWhcaqaaiaadchaaiaawEniaaqaaiaadsgacaWG0baaaiabg2da9maalaaabaGaamizamaabmaabaGaamyBamaaFiaabaGaamOvaaGaay51GaaacaGLOaGaayzkaaaabaGaamizaiaadshaaaaaaa@482C@  soit d p dt =m d V dt MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaaykW7daWhcaqaaiaadchaaiaawEniaaqaaiaadsgacaWG0baaaiabg2da9iaad2gadaWcaaqaaiaadsgadaWhcaqaaiaadAfaaiaawEniaaqaaiaadsgacaWG0baaaaaa@46A3@ .

Or a = d V dt MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyyaaGaay51GaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGKbWaa8HaaeaacaWGwbaacaGLxdcaaeaacaWGKbGaamiDaaaaaaa@413C@  et la dérivée de la quantité de mouvement s’écrit d p dt =m a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaamizamaaFiaabaGaamiCaaGaay51GaaabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaamyBaiaaykW7daWhcaqaaiaadggaaiaawEniaaaa@43D3@

La deuxième loi de Newton devient :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur un point matériel de masse constante est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération :

Σ F =m a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaL4babaGaaGPaVlaaykW7cqqHJoWudaWhcaqaaiaadAeaaiaawEniaiabg2da9iaad2gacaaMc8+aa8HaaeaacaWGHbaacaGLxdcacaaMc8UaaGPaVlaaykW7aaaaaa@4A4F@

 

Remarque : Cette loi se généralise au cas d'un système (solide, ensemble de points matériels, etc):

Σ F ext =m a G  avec { Σ F ext : résultante des forces extérieures appliquées au système a G : vecteur accélération du centre d'inertie du système MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@C4BA@

 

 

II. Troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques)

Lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une force F A/B MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGbbGaai4laiaadkeaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@3D27@ , alors le corps B exerce sur le corps A une force F B/A MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGcbGaai4laiaadgeaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@3D27@  telle que:

F B/A = F A/B MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGcbGaai4laiaadgeaaeqaaaGccaGLxdcacqGH9aqpcqGHsisldaWhcaqaaiaadAeadaWgaaWcbaGaamyqaiaac+cacaWGcbaabeaaaOGaay51Gaaaaa@440F@  soit F A/B + F B/A = 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGbbGaai4laiaadkeaaeqaaaGccaGLxdcacqGHRaWkdaWhcaqaaiaadAeadaWgaaWcbaGaamOqaiaac+cacaWGbbaabeaaaOGaay51GaGaeyypa0Zaa8HaaeaacaaIWaaacaGLxdcaaaa@4672@

 

 

III. Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme

Soit un point matériel A de masse m lancé avec une vitesse initiale v o MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODamaaBaaaleaacaWGVbaabeaaaOGaay51Gaaaaa@3C0B@  dans le champ de pesanteur g MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaam4zaaGaay51Gaaaaa@3AD2@  supposé localement uniforme.

1. Vecteur accélération :

Système étudié : le point matériel A.

Référentiel : terrestre considéré comme galiléen (la durée du mouvement est faible par rapport à la durée d’un jour).

Forces extérieures exercées sur le point A: la force de pesanteur (ou poids) P MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaGabmiuayaalaaaaa@328D@ .

 

Application de la deuxième loi de Newton :

Σ F ext =m. a(t) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiabfo6atnaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGLbGaamiEaiaadshaaeqaaaGccaGLxdcacqGH9aqpcaWGTbGaaiOlamaaFiaabaGaamyyaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51Gaaaaa@46E1@

P =m. a(t) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiqadcfagaWcaiabg2da9iaad2gacaGGUaWaa8HaaeaacaWGHbGaaiikaiaadshacaGGPaaacaGLxdcaaaa@40AE@

m. g =m. a(t) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaad2gacaGGUaWaa8HaaeaacaWGNbaacaGLxdcacqGH9aqpcaWGTbGaaiOlamaaFiaabaGaamyyaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51Gaaaaa@440B@

a(t) = g = cte MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyyaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51GaGaeyypa0Zaa8HaaeaacaWGNbaacaGLxdcacqGH9aqpdaWhcaqaaiaadogacaWG0bGaamyzaaGaay51Gaaaaa@4648@

 

2. Equations horaires paramétriques :

Conditions initiales : Supposons qu’à l’instant t=0, le mobile est lancé de l’origine du repère O avec une vitesse initiale v o MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODamaaBaaaleaacaWGVbaabeaaaOGaay51Gaaaaa@3C0B@  faisant un angle α MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiabeg7aHbaa@39D1@  avec l’axe Oy.

Le vecteur position initiale s’écrit alors O A 0 = 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaam4taiaadgeadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaakiaawEniaiabg2da9maaFiaabaGaaGimaaGaay51Gaaaaa@3FE3@  soit O A 0 { x 0 =0 y 0 =0 z 0 =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaam4taiaadgeadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaakiaawEniaiaaykW7caaMc8+aaiqaaqaabeqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccqGH9aqpcaaIWaaabaGaamyEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabg2da9iaaicdaaeaacaWG6bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaeyypa0JaaGimaaaacaGL7baaaaa@4BB1@

Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées v 0 { v 0x =0 v 0y = v 0 .cosα v 0z = v 0 .sinα MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaOGaay51GaGaaGPaVlaaykW7daGabaabaeqabaGaamODamaaBaaaleaacaaIWaGaamiEaaqabaGccqGH9aqpcaaIWaaabaGaamODamaaBaaaleaacaaIWaGaamyEaaqabaGccqGH9aqpcaWG2bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiOlaiGacogacaGGVbGaai4Caiabeg7aHbqaaiaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaiaadQhaaeqaaOGaeyypa0JaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaac6caciGGZbGaaiyAaiaac6gacqaHXoqyaaGaay5Eaaaaaa@5AB2@ .

Coordonnées du vecteur vitesse :

D’après le paragraphe 1., les coordonnées du vecteur accélération sont a(t) { a x (t)=0 a y (t)=0 a z (t)=g MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyyaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51GaGaaGPaVlaaykW7daGabaabaeqabaGaamyyamaaBaaaleaacaWG4baabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaadMhaaeqaaOGaaiikaiaadshacaGGPaGaeyypa0JaaGimaaqaaiaadggadaWgaaWcbaGaamOEaaqabaGccaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpcqGHsislcaWGNbaaaiaawUhaaaaa@54F9@ .

Or a(t) = d v(t) dt MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyyaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51GaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGKbWaa8HaaeaacaWG2bGaaiikaiaadshacaGGPaaacaGLxdcaaeaacaWGKbGaamiDaaaaaaa@45FF@  ; par intégration, on obtient : v(t) { v x (t)= v 0x v y (t)= v 0y v z (t)=gt+ v 0z MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51GaGaaGPaVlaaykW7daGabaabaeqabaGaamODamaaBaaaleaacaWG4baabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaiaadIhaaeqaaaGcbaGaamODamaaBaaaleaacaWG5baabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaiaadMhaaeqaaaGcbaGaamODamaaBaaaleaacaWG6baabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iabgkHiTiaadEgacaWG0bGaey4kaSIaamODamaaBaaaleaacaaIWaGaamOEaaqabaaaaOGaay5Eaaaaaa@5E6E@  soit v(t) { v x (t)=0 v y (t)= v 0 cosα v z (t)=gt+ v 0 sinα MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51GaGaaGPaVlaaykW7daGabaabaeqabaGaamODamaaBaaaleaacaWG4baabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaaicdaaeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaadMhaaeqaaOGaaiikaiaadshacaGGPaGaeyypa0JaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiGacogacaGGVbGaai4Caiabeg7aHbqaaiaadAhadaWgaaWcbaGaamOEaaqabaGccaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpcqGHsislcaWGNbGaamiDaiabgUcaRiaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGcciGGZbGaaiyAaiaac6gacqaHXoqyaaGaay5Eaaaaaa@632C@

Le mouvement est uniforme selon l’axe Oy et uniformément varié selon l’axe Oz.

Coordonnées du vecteur position :

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : v(t) = d OA (t) dt MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51GaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGKbWaa8HaaeaacaWGpbGaamyqaaGaay51GaGaaiikaiaadshacaGGPaaabaGaamizaiaadshaaaaaaa@46B3@  ;

Par intégration, on obtient : OA (t){ x(t)= x 0 y(t)= v 0 cosα.t+ y 0 z(t)= 1 2 g t 2 + v 0 sinα.t+ z 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@6CDC@  soit OA (t){ x(t)=0 y(t)= v 0 cosα.t z(t)= 1 2 g t 2 + v 0 sinα.t MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaam4taiaadgeaaiaawEniaiaacIcacaWG0bGaaiykaiaaykW7caaMc8+aaiqaaqaabeqaaiaadIhacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpcaaIWaaabaGaamyEaiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGcciGGJbGaai4BaiaacohacqaHXoqycaGGUaGaamiDaaqaaiaadQhacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpcqGHsisldaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiaadEgacaWG0bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiGacohacaGGPbGaaiOBaiabeg7aHjaac6cacaWG0baaaiaawUhaaaaa@6608@

Le mouvement s’effectue dans le plan (O,y,z).

 

3.Equation de la trajectoire :

t= y v 0 cosα MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadshacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadMhaaeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqySdegaaaaa@419C@  et z= 1 2 g ( y v 0 cosα ) 2 + v 0 sinα. y v 0 cosα MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadQhacqGH9aqpdaWcaaqaaiabgkHiTiaaigdaaeaacaaIYaaaaiaadEgacaGGOaWaaSaaaeaacaWG5baabaGaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiGacogacaGGVbGaai4Caiabeg7aHbaacaGGPaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiGacohacaGGPbGaaiOBaiabeg7aHjaac6cadaWcaaqaaiaadMhaaeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqySdegaaaaa@56AF@ .

On en déduit l’équation de la trajectoire du centre d’inertie du mobile :

z= g 2 v 0 2 cos 2 α y 2 +tanα.y MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaL4babaGaamOEaiabg2da9maalaaabaGaeyOeI0Iaam4zaaqaaiaaikdacaWG2bWaa0baaSqaaiaaicdaaeaacaaIYaaaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeqySdegaaiaadMhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkciGG0bGaaiyyaiaac6gacqaHXoqycaGGUaGaamyEaaaaaaa@4E22@

La trajectoire est un arc de parabole.

 

 

IV. Mouvement dans un champ électrique uniforme

Une particule A de masse m et de charge q pénètre avec une vitesse initiale v o MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODamaaBaaaleaacaWGVbaabeaaaOGaay51Gaaaaa@3C0B@  dans une région où règne un champ électrique uniforme E MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyraaGaay51Gaaaaa@3AB0@ .

Trajectoire d’un électron (q<0) à l’intérieur d’un condensateur plan

1. Vecteur accélération :

Système étudié : la particule A.

Référentiel : terrestre considéré comme galiléen (la durée du mouvement est faible par rapport à la durée d’un jour).

Forces extérieures exercées A : la force électrique f =q× E MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaWaa8HaaeaacaWGMbaacaGLxdcacqGH9aqpcaWGXbGaey41aq7aa8HaaeaacaWGfbaacaGLxdcaaaa@3AD6@  (le poids de la particule est négligeable devant f MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamOzaaGaay51Gaaaaa@3AD1@  ).

 

Application de la deuxième loi de Newton :

Σ F ext =m. a(t) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiabfo6atnaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGLbGaamiEaiaadshaaeqaaaGccaGLxdcacqGH9aqpcaWGTbGaaiOlamaaFiaabaGaamyyaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51Gaaaaa@46E1@

f =m. a(t) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamOzaaGaay51GaGaeyypa0JaamyBaiaac6cadaWhcaqaaiaadggacaGGOaGaamiDaiaacMcaaiaawEniaaaa@4266@

q. E =m. a(t) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadghacaGGUaWaa8HaaeaacaWGfbaacaGLxdcacqGH9aqpcaWGTbGaaiOlamaaFiaabaGaamyyaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51Gaaaaa@43ED@

a(t) = q. E m MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyyaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51GaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGXbGaaiOlamaaFiaabaGaamyraaGaay51GaaabaGaamyBaaaaaaa@434B@

 

2. Equations horaires paramétriques :

<Contenu manuscrit>Conditions initiales : Supposons qu’à l’instant t=0, le mobile est lancé de l’origine du repère O avec une vitesse initiale  faisant un angle α MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiabeg7aHbaa@39D1@  avec l’axe Oy.

Le vecteur position initiale s’écrit alors O A 0 = 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaam4taiaadgeadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaakiaawEniaiabg2da9maaFiaabaGaaGimaaGaay51Gaaaaa@3FE3@  soit O A 0 { x 0 =0 y 0 =0 z 0 =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaam4taiaadgeadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaakiaawEniaiaaykW7caaMc8+aaiqaaqaabeqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccqGH9aqpcaaIWaaabaGaamyEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabg2da9iaaicdaaeaacaWG6bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaeyypa0JaaGimaaaacaGL7baaaaa@4BB1@

Le vecteur vitesse initiale a pcoordonnées v 0 { v 0x =0 v 0y = v 0 .cosα v 0z = v 0 .sinα MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaOGaay51GaGaaGPaVlaaykW7daGabaabaeqabaGaamODamaaBaaaleaacaaIWaGaamiEaaqabaGccqGH9aqpcaaIWaaabaGaamODamaaBaaaleaacaaIWaGaamyEaaqabaGccqGH9aqpcaWG2bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiOlaiGacogacaGGVbGaai4Caiabeg7aHbqaaiaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaiaadQhaaeqaaOGaeyypa0JaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaac6caciGGZbGaaiyAaiaac6gacqaHXoqyaaGaay5Eaaaaaa@5AB2@ .

Coordonnées du vecteur vitesse :

D’après le paragraphe 1., les coordonnées du vecteur accélération sont a G (t){ a x (t)=0 a y (t)=0 a z (t)= qE m MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyyamaaBaaaleaacaWGhbaabeaaaOGaay51GaGaaiikaiaadshacaGGPaGaaGPaVlaaykW7daGabaabaeqabaGaamyyamaaBaaaleaacaWG4baabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGHbWaaSbaaSqaaiaadMhaaeqaaOGaaiikaiaadshacaGGPaGaeyypa0JaaGimaaqaaiaadggadaWgaaWcbaGaamOEaaqabaGccaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpdaWcaaqaaiabgkHiTiaadghacaaMc8Uaamyraaqaaiaad2gaaaaaaiaawUhaaaaa@595C@

Or a G (t)= d v(t) dt MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyyamaaBaaaleaacaWGhbaabeaaaOGaay51GaGaaiikaiaadshacaGGPaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGKbWaa8HaaeaacaWG2bGaaiikaiaadshacaGGPaaacaGLxdcaaeaacaWGKbGaamiDaaaaaaa@4701@  ; par intégration, on obtient : v 0 { v x (t)= v 0x v y (t)= v 0y v z (t)= qE m t+ v 0z MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaOGaay51GaGaaGPaVlaaykW7daGabaabaeqabaGaamODamaaBaaaleaacaWG4baabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaiaadIhaaeqaaaGcbaGaamODamaaBaaaleaacaWG5baabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaiaadMhaaeqaaaGcbaGaamODamaaBaaaleaacaWG6baabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaeyOeI0IaamyCaiaaykW7caWGfbaabaGaamyBaaaacaWG0bGaey4kaSIaamODamaaBaaaleaacaaIWaGaamOEaaqabaaaaOGaay5Eaaaaaa@606D@  soit v 0 { v x =0 v y = v 0 cosα v z = qE m t+ v 0 sinα MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaOGaay51GaGaaGPaVlaaykW7daGabaabaeqabaGaamODamaaBaaaleaacaWG4baabeaakiabg2da9iaaicdaaeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaadMhaaeqaaOGaeyypa0JaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiGacogacaGGVbGaai4Caiabeg7aHbqaaiaadAhadaWgaaWcbaGaamOEaaqabaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiabgkHiTiaadghacaaMc8Uaamyraaqaaiaad2gaaaGaamiDaiabgUcaRiaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGcciGGZbGaaiyAaiaac6gacqaHXoqyaaGaay5Eaaaaaa@5E35@

Le mouvement est uniforme selon l’axe Oy et uniformément varié selon l’axe Oz.

Coordonnées du vecteur position :

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : v(t) = d OA (t) dt MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamODaiaacIcacaWG0bGaaiykaaGaay51GaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGKbWaa8HaaeaacaWGpbGaamyqaaGaay51GaGaaiikaiaadshacaGGPaaabaGaamizaiaadshaaaaaaa@46B3@  ;

<Contenu manuscrit>Par intégration, on obtient : OA (t){ x(t)= x 0 y(t)= v 0 cosα.t+ y 0 z= qE 2m t 2 + v 0 sinα.t+ z 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@6EAB@  soit OG { x=0 y= v 0 cosα.t z= qE 2m t 2 + v 0 sinα.t MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaam4taiaadEeaaiaawEniaiaaykW7caaMc8+aaiqaaqaabeqaaiaadIhacqGH9aqpcaaIWaaabaGaamyEaiabg2da9iaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGcciGGJbGaai4BaiaacohacqaHXoqycaGGUaGaamiDaaqaaiaadQhacqGH9aqpdaWcaaqaaiabgkHiTiaadghacaaMc8UaamyraaqaaiaaikdacaaMc8UaamyBaaaacaWG0bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamODamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiGacohacaGGPbGaaiOBaiabeg7aHjaac6cacaWG0baaaiaawUhaaaaa@60E7@

Le mouvement s’effectue dans le plan (O,y,z).

 

3.Equation de la trajectoire :

t= y v 0 cosα MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadshacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadMhaaeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqySdegaaaaa@419C@  et z= qE 2m ( y v 0 cosα ) 2 + v 0 sinα. y v 0 cosα MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadQhacqGH9aqpdaWcaaqaaiabgkHiTiaadghacaaMc8UaamyraaqaaiaaikdacaWGTbaaaiaacIcadaWcaaqaaiaadMhaaeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqySdegaaiaacMcadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWG2bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaci4CaiaacMgacaGGUbGaeqySdeMaaiOlamaalaaabaGaamyEaaqaaiaadAhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGcciGGJbGaai4BaiaacohacqaHXoqyaaaaaa@5945@ .

On en déduit l’équation de la trajectoire du centre d’inertie du mobile :

z= qE 2m v 0 2 cos 2 α y 2 +tanα.y MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaL4babaGaamOEaiabg2da9maalaaabaGaeyOeI0IaamyCaiaaykW7caWGfbaabaGaaGOmaiaad2gacaWG2bWaa0baaSqaaiaaicdaaeaacaaIYaaaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeqySdegaaiaadMhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkciGG0bGaaiyyaiaac6gacqaHXoqycaGGUaGaamyEaaaaaaa@5173@

La trajectoire est un arc de parabole.