Chute verticale d’un solide
I. Chute verticale dans un fluide
1. Forces exercées sur le solide
Soit un solide S en mouvement de chute verticale à proximité de la Terre. Ce solide est soumis à trois forces :
a. Force exercée par la Terre : force de pesanteur
Un
objet situé au voisinage de la Terre subit la force de gravitation qui peut s’identifier à la force de pesanteur
.
Définition : On dit que la Terre
crée un champ de pesanteur .
Un objet de masse
placé dans le champ de pesanteur
subit une force
.
Remarque : Le champ de pesanteur est supposé
uniforme ( est le même en tout point) dans une zone pas
trop étendue au voisinage de la Terre (en réalité,
diminue avec l’altitude).
Explication
b. Force exercée par le fluide : poussée d’Archimède
Définition : Un corps totalement ou
partiellement immergé dans un fluide subit une force verticale, de bas en haut, de valeur égale au poids du fluide déplacé appelée
poussée d’Archimède.
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c. Force de frottement
exercée par le fluide
Soit un solide de vitesse .
Le fluide exerce sur ce solide une force de frottement. Dans le cas d’une chute
verticale dans un fluide, la force de frottement est de la forme
.
Remarque : La force est colinéaire au vecteur vitesse
mais de sens opposé. Sa valeur est
proportionnelle à la vitesse v.
Remarque : Pour des vitesses plus importantes, f
peut être de la forme .
2. Modélisation du mouvement
a. Equation différentielle
Soit une bille de masse m et de vitesse
initiale en chute verticale dans un liquide.
La bille est soumise aux trois forces précédentes (voir schéma ci-contre).
Référentiel utilisé : terrestre (galiléen par approximation)
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2ème loi de Newton : |
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Sur l’axe ox : |
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Remarque : Cette équation différentielle est de
la forme .
b. Etude expérimentale (voir TP)
La courbe a l’allure suivante. Elle possède deux régimes
successifs :
c. Détermination de la vitesse limite
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Lorsque |
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=> |
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=> |
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=> |
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d. Résolution de l’équation différentielle par une méthode numérique (méthode d’Euler)
On
a avec
et
.
Si est petit, on peut écrire
Supposons
qu’à l’instant ,
la vitesse du solide soit
(conditions initiales du mouvement).
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à l’instant |
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à l’instant |
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=> |
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à l’instant |
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=> |
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etc... |
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Il
est ainsi possible de calculer la vitesse à chaque instant. La courbe
se rapproche de la courbe expérimentale si
est petit.
II. Chute libre
1. Définition
Un solide est dit en chute libre s’il est soumis uniquement à son poids (le fait qu’il n’existe pas de force de frottement impose que cette condition ne peut être réalisée que dans le vide).
Remarque : Lorsque la force de frottement du fluide et la poussée d’Archimède sont négligeables devant le poids, on peut considérer le solide comme étant en chute libre.
2. Modélisation du mouvement
a. Equation différentielle du mouvement
Système étudié : le solide.
Référentiel utilisé : terrestre (galiléen par approximation)
Bilan des forces extérieures :
:
poids du solide.
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Deuxième loi de Newton |
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Le
vecteur accélération du centre d’inertie d’un solide en chute libre est égal au
vecteur champ de pesanteur .
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La projection sur l’axe ox donne : |
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=> |
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(équation différentielle du mouvement) |
b. Résolution de l’équation différentielle
Conditions initiales : supposons que la position
initiale (à l’instant ) du solide soit
et sa vitesse initiale soit
.
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Expression de la vitesse : |
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=> |
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à
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=> |
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||
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=> |
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et |
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Remarque : si la vitesse initiale est nulle ( ), alors l’expression de la vitesse devient
.
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Expression de la position : |
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=> |
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on en déduit : |
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|||
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=> |
|
||
|
à
t=0, |
=> |
|
||
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|
=> |
|
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|
et |
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Remarque : si le solide est lâché du point O ( ) si la vitesse initiale est nulle (
), alors l’expression de la position du mobile
devient
.