Mouvements de projectiles

 

 

I.   Eléménts de cinématique

1.  Vecteur vitesse

Soit un mobile animé d’un mouvement quelconque. Soit M la position du mobile à l’instant t et soit M’ la position du mobile à l’instant t’.

Définition : On appelle vecteur vitesse du mobile le vecteur .

Soit O l’origine du repère. Le vecteur  peut s’écrire .

Définition : On appelle vecteur position du mobile le vecteur .

Remarque : Soit  le vecteur variation du vecteur position.

Le vecteur vitesse du mobile peut s’écrire

=>  =>  =>

Coordonnées du vecteur  :
Soit  de coordonnées  dans le repère . Le vecteur position a pour expression : .

Le vecteur vitesse du mobile peut s’écrire	=>

On remarquera que le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.

2.  Vecteur accélération :

Nous savons déjà que le vecteur accélération a pour expression  (voir mécanique de Newton).

Le vecteur accélération du mobile peut s’écrire	=>

II.  Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme

Soit un objet S lancé avec une vitesse initiale  dans le champ de pesanteur supposé localement uniforme.

1.  Vecteur accélération :

Système étudié : l’objet S.

Référentiel : terrestre considéré comme galiléen (la durée du mouvement est faible par rapport à la durée d’un jour).

Forces extérieures exercées sur l’objet S : la force de pesanteur (ou poids) .

Application de la deuxième loi de Newton :

2.  Equations horaires paramétriques :

Conditions initiales : Supposons qu’à l’instant t=0, le mobile est lancé de l’origine du repère O avec une vitesse initiale  faisant un angle  avec l’axe Oy.

Le vecteur position initiale s’écrit alors .

Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées .

Coordonnées du vecteur vitesse :

D’après le paragraphe 1., les coordonnées du vecteur accélération sont .

Or  ; par intégration, on obtient :  

Le mouvement est uniforme selon l’axe Oy et uniformément varié selon l’axe Oz.

Coordonnées du vecteur position :

D’après le paragraphe I, le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position :  ;

Par intégration, on obtient :  

Le mouvement s’effectue dans le plan (O,y,z).

3.  Equation de la trajectoire :

 et .

On en déduit l’équation de la trajectoire du centre d’inertie du mobile :

La trajectoire est un arc de parabole.

Remarques :

On appelle « portée du tir » la distance OP et « flèche » la hauteur h.

Au point P,  

Au point S, le vecteur vitesse  est horizontal et sa coordonnée selon Oz est nulle (  ).