Systèmes mécaniques oscillants

 

 

I.   Systèmes oscillants

Définition : Un système oscillant est un système mécanique dont le mouvement du centre d’inertie G :

·Â Â  est périodique.

·Â Â  s’effectue autour d’une position d’équilibre stable.

Exemples : le balancier d’une horloge, les branches d’un diapason.

 

 

II.  Mouvement d’un oscillateur : le pendule simple

1.  Définition

On appelle pendule pesant un système mécanique mobile autour d’un axe horizontal ne passant pas par son centre d’inertie.

Ecouter le son du diapason

Remarques :

·Â Â  A l’équilibre, P + R = 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaGabmiuayaalaGaey4kaSIabmOuayaalaGaeyypa0JabGimayaalaaaaa@362A@

·Â Â  La position du pendule peut-être repérée par son abscisse angulaire θ MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaGaeqiUdehaaa@335C@ .

 

2.  Amplitude et période d’un oscillateur non amorti

Définition : Un oscillateur est dit libre lorsqu’il n’est soumis à aucun apport d’énergie extérieure après sa mise en mouvement. L’évolution temporelle d’un oscillateur mécanique libre et non amorti est la suivante :

Définition : On appelle période T0 d’un oscillateur non amorti la durée qui s’écoule entre deux passages successifs de l’oscillateur par des positions identiques avec des vecteurs vitesses identiques.

Remarque : si l’amplitude angulaire est inférieure à 10° ( θ 0 <10° MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaGaeqiUde3aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaeyipaWJaaGymaiaaicdacqGHWcaSaaa@38B1@  ), l’expérience montre que la période T0 ne dépend pas de l l’amplitude angulaire θ 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaGaeqiUde3aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3442@ . On dit qu’il y a isochronisme des petites oscillations.

 

 

3.  Expression de la période d’un pendule simple.

L’expérience montre que la période d’un pendule simple a pour expression

T 0 =2π l g  avec { T 0  : période du pendule (s) l : longueur du pendule (m) g : intensité de la pesanteur (m .s -2 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaGaamivamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabg2da9iaaikdacqaHapaCdaGcaaqaamaalaaabaGaamiBaaqaaiaadEgaaaaaleqaaOGaaeiiaiaabggacaqG2bGaaeyzaiaabogacaqGGaWaaiqaaqaabeqaaiaabsfadaWgaaWcbaGaaeimaaqabaGccaqGGaGaaeOoaiaabccacaqGWbGaaey6aiaabkhacaqGPbGaae4BaiaabsgacaqGLbGaaeiiaiaabsgacaqG1bGaaeiiaiaabchacaqGLbGaaeOBaiaabsgacaqG1bGaaeiBaiaabwgacaqGGaGaaeikaiaadohacaqGPaaabaGaamiBaiaabccacaqG6aGaaeiiaiaabYgacaqGVbGaaeOBaiaabEgacaqG1bGaaeyzaiaabwhacaqGYbGaaeiiaiaabsgacaqG1bGaaeiiaiaabchacaqGLbGaaeOBaiaabsgacaqG1bGaaeiBaiaabwgacaqGGaGaaeikaiaad2gacaqGPaaabaGaam4zaiaabccacaqG6aGaaeiiaiaabMgacaqGUbGaaeiDaiaabwgacaqGUbGaae4CaiaabMgacaqG0bGaaey6aiaabccacaqGKbGaaeyzaiaabccacaqGSbGaaeyyaiaabccacaqGWbGaaeyzaiaabohacaqGHbGaaeOBaiaabshacaqGLbGaaeyDaiaabkhacaqGGaGaaeikaiaab2gacaqGUaGaae4CamaaCaaaleqabaGaaeylaiaabkdaaaGccaqGPaaaaiaawUhaaaaa@8D8B@

Analyse dimensionnelle : [ g ]=[ L ]. [ T ] 2  et [ l g ]= ( [ L ] [ L ]. [ T ] 2 ) 1 2 =[ T ]. On en déduit que  l g  est homogène à un temps. MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=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@92F5@

 

Amortissement faible
(régime pseudopériodique)

Amortissement fort
(régime apériodique)

Remarque : la pseudopériode T est peu différente de la période propre T0. En réalité, T est légèrement supérieure à T0.

 

III. Dispositif solide - ressort

1.  Dispositif

 

2.  Force de rappel d’un ressort

Système étudié : le ressort.

Force extérieure appliquée au système:      son poids P MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaGabmiuayaalaaaaa@328D@  (négligeable si la masse du ressort est faible).

les forces exercées aux extrémités du ressort ( F A/R  et  F B/R MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaWaa8HaaeaacaWGgbWaaSbaaSqaaiaadgeacaGGVaGaamOuaaqabaaakiaawEniaiaabccacaqGLbGaaeiDaiaabccadaWhcaqaaiaadAeadaWgaaWcbaGaamOqaiaac+cacaWGsbaabeaaaOGaay51Gaaaaa@3ED6@  ).

Référentiel : terrestre supposé galiléen par approximation.

D’après la deuxième loi de Newton : F A/R + P + F B/R = 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaWaa8HaaeaacaWGgbWaaSbaaSqaaiaadgeacaGGVaGaamOuaaqabaaakiaawEniaiabgUcaRiqadcfagaWcaiabgUcaRmaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGcbGaai4laiaadkfaaeqaaaGccaGLxdcacqGH9aqpceaIWaGbaSaaaaa@402E@ .

Si la masse du ressort est négligeable : F A/R = F B/R MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaWaa8HaaeaacaWGgbWaaSbaaSqaaiaadgeacaGGVaGaamOuaaqabaaakiaawEniaiabg2da9iabgkHiTmaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGcbGaai4laiaadkfaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@3DA4@ .

Les tensions appliquées à chaque extrémité d’un ressort de masse nulle ont même valeur.

D’après la troisième loi de Newton, F R/A = F A/R MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaWaa8HaaeaacaWGgbWaaSbaaSqaaiaadkfacaGGVaGaamyqaaqabaaakiaawEniaiabg2da9iabgkHiTmaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGbbGaai4laiaadkfaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@3DA3@  et F R/B = F B/R MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaWaa8HaaeaacaWGgbWaaSbaaSqaaiaadkfacaGGVaGaamOqaaqabaaakiaawEniaiabg2da9iabgkHiTmaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGcbGaai4laiaadkfaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@3DA5@ .

Un ressort de masse nulle exerce une force de rappel sur les objets A et B en contact avec ses extrémités telle que F R/A + F R/B = 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaWaa8HaaeaacaWGgbWaaSbaaSqaaiaadkfacaGGVaGaamyqaaqabaaakiaawEniaiabgUcaRmaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGsbGaai4laiaadkeaaeqaaaGccaGLxdcacqGH9aqpceaIWaGbaSaaaaa@3E65@ .

Rappel :

De façon générale,

F =k.x. i  avec { k : constante de raideur du ressort (N .m -1 ) l : longueur du pendule (m) g : intensité de la pesanteur (m .s -2 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@9AB8@

 

3.  Etude dynamique du système solide - ressort

a.  Equation différentielle

Le système est écarté de sa position d’équilibre et abandonné sans vitesse initiale.

Système étudié : le mobile.

Référentiel : terrestre (galiléen par approximation).

Forces extérieures :   P MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWhcaqaaiaadcfaaiaawEniaaaa@3A0B@  : poids du solide.

R MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWhcaqaaiaadkfaaiaawEniaaaa@3A0D@  : la réaction du support.

F MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWhcaqaaiaadAeaaiaawEniaaaa@3A01@  : la tension du ressort.

f MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWhcaqaaiaadAgaaiaawEniaaaa@3A21@  : la force de frottement.

2ème loi de Newton :     P + R + F + f =m a G MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWhcaqaaiaadcfaaiaawEniaiabgUcaRmaaFiaabaGaamOuaaGaay51GaGaey4kaSYaa8HaaeaacaWGgbaacaGLxdcacqGHRaWkdaWhcaqaaiaadAgaaiaawEniaiabg2da9iaad2gadaWhcaqaaiaadggadaWgaaWcbaGaam4raaqabaaakiaawEniaaaa@49EE@ .

P + R kx i μ v x i =m a G MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWhcaqaaiaadcfaaiaawEniaiabgUcaRmaaFiaabaGaamOuaaGaay51GaGaeyOeI0Iaam4AaiaadIhaceWGPbGbaSaacqGHsislcqaH8oqBcaWG2bWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaOGabmyAayaalaGaeyypa0JaamyBamaaFiaabaGaamyyamaaBaaaleaacaWGhbaabeaaaOGaay51Gaaaaa@4CB7@

La projection sur l’axe ox donne :     kxμ v x =m. a x MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacqGHsislcaWGRbGaamiEaiabgkHiTiabeY7aTjaadAhadaWgaaWcbaGaamiEaaqabaGccqGH9aqpcaWGTbGaaiOlaiaacggadaWgaaWcbaGaaiiEaaqabaaaaa@43E4@ .

kxμ dx dt =m d 2 x d t 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacqGHshI3cqGHsislcaWGRbGaamiEaiabgkHiTiabeY7aTnaalaaabaGaamizaiaadIhaaeaacaWGKbGaamiDaaaacqGH9aqpcaWGTbWaaSaaaeaacaWGKbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaamiEaaqaaiaadsgacaWG0bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaaaaa@4AE0@

d 2 x d t 2 + μ m dx dt + k m x=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacqGHshI3daWcaaqaaiaadsgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG4baabaGaamizaiaadshadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaey4kaSYaaSaaaeaacqaH8oqBaeaacaWGTbaaamaalaaabaGaamizaiaadIhaaeaacaWGKbGaamiDaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaadUgaaeaacaWGTbaaaiaadIhacqGH9aqpcaaIWaaaaa@4CA0@  ou x ¨ + μ m x ˙ + k m x=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaaceWG4bGbamaacqGHRaWkdaWcaaqaaiabeY7aTbqaaiaad2gaaaGabmiEayaacaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGRbaabaGaamyBaaaacaWG4bGaeyypa0JaaGimaaaa@42BA@

Si les frottements sont négligeables :

d 2 x d t 2 + k m x=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWcaaqaaiaadsgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG4baabaGaamizaiaadshadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGRbaabaGaamyBaaaacaWG4bGaeyypa0JaaGimaaaa@42D1@  ou x ¨ + k m x=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaaceWG4bGbamaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaadUgaaeaacaWGTbaaaiaadIhacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3E1A@

 

b.  Solution de l’équation différentielle

x= x m cos( k m t+ϕ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0JaamiEamaaBaaaleaacaWGTbaabeaakiGacogacaGGVbGaai4CaiaacIcadaGcaaqaamaalaaabaGaam4Aaaqaaiaad2gaaaaaleqaaOGaamiDaiabgUcaRiabew9aQjaacMcaaaa@4594@  est solution de l’équation différentielle.

En effet :    dx dt = k m x m sin( k m t+ϕ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWcaaqaaiaadsgacaWG4baabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaeyOeI0YaaOaaaeaadaWcaaqaaiaadUgaaeaacaWGTbaaaaWcbeaakiaadIhadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGcciGGZbGaaiyAaiaac6gacaGGOaWaaOaaaeaadaWcaaqaaiaadUgaaeaacaWGTbaaaaWcbeaakiaadshacqGHRaWkcqaHvpGAcaGGPaaaaa@4B78@

d 2 x d t 2 = k m x m cos( k m t+ϕ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWcaaqaaiaadsgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG4baabaGaamizaiaadshadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaeyypa0JaeyOeI0YaaSaaaeaacaWGRbaabaGaamyBaaaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbGaaiikamaakaaabaWaaSaaaeaacaWGRbaabaGaamyBaaaaaSqabaGccaWG0bGaey4kaSIaeqy1dOMaaiykaaaa@4D33@

En remplaçant dans l’équation différentielle : k m x m cos( k m t+ϕ)+ k m x m cos( k m t+ϕ)=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacqGHsisldaWcaaqaaiaadUgaaeaacaWGTbaaaiaadIhadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGcciGGJbGaai4BaiaacohacaGGOaWaaOaaaeaadaWcaaqaaiaadUgaaeaacaWGTbaaaaWcbeaakiaadshacqGHRaWkcqaHvpGAcaGGPaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGRbaabaGaamyBaaaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbGaaiikamaakaaabaWaaSaaaeaacaWGRbaabaGaamyBaaaaaSqabaGccaWG0bGaey4kaSIaeqy1dOMaaiykaiabg2da9iaaicdaaaa@5712@

L’équation différentielle est vérifiée et x= x m cos( k m t+ϕ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0JaamiEamaaBaaaleaacaWGTbaabeaakiGacogacaGGVbGaai4CaiaacIcadaGcaaqaamaalaaabaGaam4Aaaqaaiaad2gaaaaaleqaaOGaamiDaiabgUcaRiabew9aQjaacMcaaaa@4594@  est solution.

c.  Période des oscillations

Si T 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWGubWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3941@  est la période des oscillations, x(t+ T 0 )=x(t) x m cos( k m ( t+ T 0 )+ϕ)= x m cos( k m t+ϕ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaaiikaiaadshacqGHRaWkcaWGubWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiykaiabg2da9iaadIhacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGHshI3caWG4bWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaOGaci4yaiaac+gacaGGZbGaaiikamaakaaabaWaaSaaaeaacaWGRbaabaGaamyBaaaacaGGOaaaleqaaOGaamiDaiabgUcaRiaadsfadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaGGPaGaey4kaSIaeqy1dOMaaiykaiabg2da9iaadIhadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGcciGGJbGaai4BaiaacohacaGGOaWaaOaaaeaadaWcaaqaaiaadUgaaeaacaWGTbaaaaWcbeaakiaadshacqGHRaWkcqaHvpGAcaGGPaaaaa@6156@ .

On en déduit : k m (t+ T 0 )+ϕ= k m t+ϕ+2π T 0 k m =2π MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaGcaaqaamaalaaabaGaam4Aaaqaaiaad2gaaaaaleqaaOGaaiikaiaadshacqGHRaWkcaWGubWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiykaiabgUcaRiabew9aQjabg2da9maakaaabaWaaSaaaeaacaWGRbaabaGaamyBaaaaaSqabaGccaWG0bGaey4kaSIaeqy1dOMaey4kaSIaaGOmaiabec8aWjabgkDiElaadsfadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGcdaGcaaqaamaalaaabaGaam4Aaaqaaiaad2gaaaaaleqaaOGaeyypa0JaaGOmaiabec8aWbaa@551F@ .

D’où l’expression de la période des oscillations du système :

T 0 =2π m k  avec { m: masse du système (kg). k: constante de raideur du ressort (N .kg -1 ). T 0 : période des oscillations (s). MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=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@9D75@

 

Remarque : Analyse dimensionnelle de la période :

F=kx MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWGgbGaeyypa0Jaam4AaiaadIhaaaa@3B40@  et F=ma MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWGgbGaeyypa0JaamyBaiaadggaaaa@3B2B@ . D’où : [ k ]= [ ma ] [ x ] = [ M ].[ L ]. [ T ] 2 [ L ] =[ M ]. [ T ] 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWadaqaaiaadUgaaiaawUfacaGLDbaacqGH9aqpdaWcaaqaamaadmaabaGaamyBaiaadggaaiaawUfacaGLDbaaaeaadaWadaqaaiaadIhaaiaawUfacaGLDbaaaaGaeyypa0ZaaSaaaeaadaWadaqaaiaad2eaaiaawUfacaGLDbaacaGGUaWaamWaaeaacaWGmbaacaGLBbGaayzxaaGaaiOlamaadmaabaGaamivaaGaay5waiaaw2faamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGOmaaaaaOqaamaadmaabaGaamitaaGaay5waiaaw2faaaaacqGH9aqpdaWadaqaaiaad2eaaiaawUfacaGLDbaacaGGUaWaamWaaeaacaWGubaacaGLBbGaayzxaaWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIYaaaaaaa@5ABF@ .

[ T 0 ]= ( [ M ] [ M ]. [ T ] 2 ) 1 2 =[ T ] MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaadaWadaqaaiaadsfadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaakiaawUfacaGLDbaacqGH9aqpdaqadaqaamaalaaabaWaamWaaeaacaWGnbaacaGLBbGaayzxaaaabaWaamWaaeaacaWGnbaacaGLBbGaayzxaaGaaiOlamaadmaabaGaamivaaGaay5waiaaw2faamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGOmaaaaaaaakiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaamaaliaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaaaaOGaeyypa0ZaamWaaeaacaWGubaacaGLBbGaayzxaaaaaa@4E52@ . T 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWGubWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3941@  est homogène à un temps.

 

d.  Expression de la solution en fonction de T0

T 0 =2π m k k m = 2π T 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWGubWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaeyypa0JaaGOmaiabec8aWnaakaaabaWaaSaaaeaacaWGTbaabaGaam4AaaaaaSqabaGccqGHuhY2daGcaaqaamaalaaabaGaam4Aaaqaaiaad2gaaaaaleqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIYaGaeqiWdahabaGaamivamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaaaaa@48A2@ .

La solution de l’équation différentielle s’écrit :

x= x m cos( 2π T 0 t+ϕ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0JaamiEamaaBaaaleaacaWGTbaabeaakiGacogacaGGVbGaai4CaiaacIcadaWcaaqaaiaaikdacqaHapaCaeaacaWGubWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaakiaadshacqGHRaWkcqaHvpGAcaGGPaaaaa@47CE@

 

e.  Conditions initiales (détermination de x m MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaaaa@399D@  et ϕ MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacqaHvpGAaaa@394E@  )

La connaissances des conditions initiales permet de déterminer les inconnues x m MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaad2gaaeqaaaaa@399D@  et ϕ MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacqaHvpGAaaa@394E@ .

Deux conditions sont nécessaires pour déterminer ces deux inconnues : la position initiales du systèmes ainsi que sa vitesse initiale.

Supposons qu’à l’instant t=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG0bGaeyypa0JaaGimaaaa@3A3B@ , le mobile soit à l’abscisse x= x 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0JaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaa@3B68@  et que sa vitesse soit nulle ( v 0 =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG2bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaeyypa0JaaGimaaaa@3B2D@  ).

A l’instant t=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG0bGaeyypa0JaaGimaaaa@3A3B@ , on peut écrire le système { v x (0)=0 x(0)= x 0 { 2π T 0 x m sinϕ=0 x m cosϕ= x 0 { ϕ=0 x m = x 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=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@6BC5@ .

Finalement l’abscisse du mobile s’écrit x= x 0 cos( 2π T 0 t) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWG4bGaeyypa0JaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiGacogacaGGVbGaai4CaiaacIcadaWcaaqaaiaaikdacqaHapaCaeaacaWGubWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaakiaadshacaGGPaaaaa@44E9@ .

IV. Le phénomène de résonance

1.  Oscillations forcées

Définition : Un oscillateur forcé est un oscillateur (appelé résonateur) couplé à un excitateur (système aminé d’un mouvement sinusoïdal de fréquence F qui impose au résonateur des oscillations sinusoïdales de fréquence même F). Voir l’exemple  ci-contre.

 

2.  Amplitude des oscillations forcées

Après une phase transitoire, il s’établit un régime permanent dans lequel l’excitateur et le résonateur oscillent à la même fréquence.

L’amplitude a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWGHbaaaa@3868@  de oscillations du résonateur dépend de la fréquence F des oscillations imposées par l’excitateur. La courbe donnant les variations de l'amplitude des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence qui lui est imposée par l'excitateur s'appelle courbe de résonance.

Remarque : Si l’amortissement est faible, la fréquence F qui provoque la résonance est proche de la fréquence propre de l’oscillateur.

F rés F 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdOi=xH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaWaaqaafaaakeaacaWGgbWaaSbaaSqaaiaadkhacaWGPdGaam4CaaqabaGccqGHijYUcaWGgbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3F42@

 

3.  Influence de l’amortissement

 

4.  Exemples de résonance mécanique

·Â Â Â Â Â Â  Les instruments de musique (un instrument de musique contient souvent une caisse de résonance).

·Â Â Â Â Â Â  Le haut parleur ne doit pas être le siège de phénomènes de résonance si l’on veut obtenir un rendu régulier des sons.

·Â Â Â Â Â Â  Les véhicules automobiles son équipés d’amortisseurs pour éviter les phénomènes de résonance.

·Â Â Â Â Â Â  Certain ouvrage d’art peuvent se mettre à vibrer sous l’action du vent ou d’un séisme.