Travail et énergie

 

I. Travail d’une force

1. Travail d’une force constante

Soit une force  constante dont le point d’application se déplace d’un point A vers un point B.

Définition : On appelle travail de la force  sur le trajet AB la quantité :

 

Remarque 1 : Le travail d’une force constante ne dépend pas du chemin suivi.

 

Remarque 2 :  

 

2. Travail élémentaire d’une force quelconque

Remarque : La puissance instantanée de la force s’écrit :  avec . D’où :

Définition : On appelle travail élémentaire d’une force  le travail de  sur un déplacement élémentaire  (portion très petite de la trajectoire considérée comme rectiligne).

 

 

3. Expression générale du travail

Le travail d’une force  sur un déplacement quelconque AB est égal à la somme de tous les travaux élémentaires sur le déplacement AB.

 

4. Travail du poids d’un corps

. On en déduit  

Remarque :  L’expression ci-dessus montre que  le travail du poids d’un corps ne dépend pas du chemin suivi. Cette propriété est tout à fait logique, puisque le poids est une force constante dans une région limitée de l’espace (  avec  vecteur constant : voir le chapitre chute verticale d’un solide).

                  

Remarque :  

Or , d’où .

 

5. Travail d’une force appliquée à l’extrémité d’un ressort

Remarque : .

Lorsque l’allongement du ressort passe de x à x+dx, on peut considérer la force  comme constante.

Le travail élémentaire de  sur le petit déplacement  s’écrit : .

Le travail de  sur le déplacement AB est donc :

 

d’où :  

Remarque :

 

II. Energie potentielle

1. Définition

L’énergie potentielle est l’énergie que possède un système du fait de sa position par rapport au système avec lequel il est en interaction.

 

2. Energie potentielle de pesanteur

Définition : L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie que possède un système du fait de sa position par rapport à la Terre.

 avec  

Remarque : Si un système passe de l’altitude z=0 à l’altitude z sous l’action d’une force , on montre que .

 

3. Energie potentielle élastique

Définition : L’énergie potentielle élastique d’un système {solide-ressort} est l’énergie qu’il possède du fait de son allongement. On montre que :

 avec  

 

III. Energie mécanique

1. Système solide ressort

Définition : On appelle énergie mécanique d’un système solide ressort la somme :  

Remarque : l’énergie mécanique peut s’écrire . Calculons .

 

Or  (équation différentielle du système lorsqu’il n’y a pas de frottements). On en déduit  et .

 

L’énergie mécanique d’un système {solide - ressort} se conserve si le système évolue sans frottements.

 

 

2. Mouvement d’un projectile

Dans le cas de la chute libre, nous avons vu au chapitre précédent que .

L’énergie cinétique selon Ox s’écrit  

Sa dérivée est  (car  ).

L’énergie cinétique selon Ox est donc constante et on peut poser .

L’énergie cinétique selon Oz s’écrit  

Sa dérivée est  (car  ).

En intégrant, l’énergie cinétique selon Oz peut s’écrire .

L’énergie mécanique est donc :

 

L’énergie mécanique d’un objet en chute libre se conserve.