Travail et énergie

 

I. Travail d’une force

1. Travail d’une force constante

Soit une force F → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@  constante dont le point d’application se déplace d’un point A vers un point B.

Définition : On appelle travail de la force F → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@  sur le trajet AB la quantité :

W AB ( F → )= F → . AB →  avec { W AB ( F → ) en joules (J) F en newtons (N) AB en mètres (m) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@6A01@

Remarque 1 : Le travail d’une force constante ne dépend pas du chemin suivi.

 

Remarque 2 : W AB ( F → )= F → × AB → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdf9irVeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaadaabauaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpceWGgbGbaSaacqGHxdaTdaWhcaqaaiaadgeacaWGcbaacaGLxdcaaaa@43DC@

 

2. Travail élémentaire d’une force quelconque

Définition : On appelle travail élémentaire d’une force F → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@  le travail de F → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@  sur un déplacement élémentaire dl → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaamaaFiaabaGaamizaiaadYgaaiaawEniaaaa@311C@  (portion très petite de la trajectoire considérée comme rectiligne).

δW= F → . dl → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaamaaL4babaGaeqiTdqMaam4vaiabg2da9iqadAeagaWcaiaac6cadaWhcaqaaiaadsgacaWGSbaacaGLxdcaaaaaaa@3679@

 

3. Expression générale du travail

Le travail d’une force F → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@  sur un déplacement quelconque AB est égal à la somme de tous les travaux élémentaires sur le déplacement AB.

W AB ( F → )= ∫ A B δW ⇔ MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWdXbqaaiabes7aKjaadEfaaSqaaiaadgeaaeaacaWGcbaaniabgUIiYdGccqGHuhY2aaa@3C46@ W AB ( F → )= ∫ A B F → . dl → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWdXbqaaiqadAeagaWcaiaac6cadaWhcaqaaiaadsgacaWGSbaacaGLxdcaaSqaaiaadgeaaeaacaWGcbaaniabgUIiYdaaaa@3C7C@

4. Travail du poids d’un corps

W AB ( P → )= ∫ A B P → . dl → ⇔ W AB ( P → )= P → . ∫ A B dl → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadcfagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWdXbqaaiqadcfagaWcaiaac6cadaWhcaqaaiaadsgacaWGSbaacaGLxdcaaSqaaiaadgeaaeaacaWGcbaaniabgUIiYdGccqGHuhY2caWGxbWaaSbaaSqaaiaadgeacaWGcbaabeaakiaacIcaceWGqbGbaSaacaGGPaGaeyypa0JabmiuayaalaGaaiOlamaapehabaWaa8HaaeaacaWGKbGaamiBaaGaay51GaaaleaacaWGbbaabaGaamOqaaqdcqGHRiI8aaaa@4DF7@     On en déduit :

W AB ( P → )= P → . AB → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaamaaL4babaGaam4vamaaBaaaleaacaWGbbGaamOqaaqabaGccaGGOaGabmiuayaalaGaaiykaiabg2da9iqadcfagaWcaiaac6cadaWhcaqaaiaadgeacaWGcbaacaGLxdcaaaaaaa@3893@

 

Remarque :  L’expression ci-dessus montre que  le travail du poids d’un corps ne dépend pas du chemin suivi. Cette propriété est tout à fait logique, puisque le poids est une force constante dans une région limitée de l’espace ( P → =m g → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadcfagaWcaiabg2da9iaad2gaceWGNbGbaSaaaaa@316B@  avec g → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadEgagaWcaaaa@2E8C@  vecteur constant : voir le chapitre chute verticale d’un solide).

                  

Remarque : W AB ( P → )= P → . AB → =mg×AB×cosθ MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadcfagaWcaiaacMcacqGH9aqpceWGqbGbaSaacaGGUaWaa8HaaeaacaWGbbGaamOqaaGaay51GaGaeyypa0JaamyBaiaadEgacqGHxdaTcaWGbbGaamOqaiabgEna0kGacogacaGGVbGaai4CaiabeI7aXbaa@4574@

Or AB×cosθ= z A − z B MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadgeacaWGcbGaey41aqRaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqiUdeNaeyypa0JaamOEamaaBaaaleaacaWGbbaabeaakiabgkHiTiaadQhadaWgaaWcbaGaamOqaaqabaaaaa@3B9A@ , d’où W AB ( P → )=mg( z A − z B ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadcfagaWcaiaacMcacqGH9aqpcaWGTbGaam4zaiaacIcacaWG6bWaaSbaaSqaaiaadgeaaeqaaOGaeyOeI0IaamOEamaaBaaaleaacaWGcbaabeaakiaacMcaaaa@3B8D@ .

 

5. Travail d’une force appliquée à l’extrémité d’un ressort

Remarque : F → =− T →  (tension du ressort avec  T → =k x → ). D'où  F → =−(−k x → )=k x → =kx i →   MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaiabg2da9iabgkHiTiqadsfagaWcaiaabccacaqGOaGaaeiDaiaabwgacaqGUbGaae4CaiaabMgacaqGVbGaaeOBaiaabccacaqGKbGaaeyDaiaabccacaqGYbGaaeyzaiaabohacaqGZbGaae4BaiaabkhacaqG0bGaaeiiaiaabggacaqG2bGaaeyzaiaabogacaqGGaGabmivayaalaGaeyypa0Jaam4AaiqadIhagaWcaiaabMcacaqGUaGaaeiiaiaabseacaqGNaGaae4BaiaabMpacaqGGaGabmOrayaalaGaeyypa0JaeyOeI0IaaiikaiabgkHiTiaadUgaceWG4bGbaSaacaGGPaGaeyypa0Jaam4AaiqadIhagaWcaiabg2da9iaadUgacaWG4bGabmyAayaalaGaaeiiaaaa@610B@ .

Lorsque l’allongement du ressort passe de x à x+dx, on peut considérer la force F → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@  comme constante.

Le travail élémentaire de F → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@  sur le petit déplacement d x → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadsgaceWG4bGbaSaaaaa@2F86@  s’écrit : δW= F → .d x → =kx i → .dx i → =kxdx MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiabes7aKjaadEfacqGH9aqpceWGgbGbaSaacaGGUaGaamizaiqadIhagaWcaiabg2da9iaadUgacaWG4bGabmyAayaalaGaaiOlaiaadsgacaWG4bGabmyAayaalaGaeyypa0Jaam4AaiaadIhacaWGKbGaamiEaaaa@4100@ .

Le travail de F → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@  sur le déplacement AB est donc :

W AB ( F → )= ∫ x 1 x 2 kxdx ⇔ W AB ( F → )= [ 1 2 k x 2 ] x1 x2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWdXbqaaiaadUgacaWG4bGaamizaiaadIhaaSqaaiaadIhadaWgaaadbaGaaGymaaqabaaaleaacaWG4bWaaSbaaWqaaiaaikdaaeqaaaqdcqGHRiI8aOGaeyi1HSTaam4vamaaBaaaleaacaWGbbGaamOqaaqabaGccaGGOaGabmOrayaalaGaaiykaiabg2da9maadmaabaWaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaacaWGRbGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOGaay5waiaaw2faamaaDaaaleaacaWG4bGaaGymaaqaaiaadIhacaaIYaaaaaaa@4FB3@

d’où : W AB ( F → )= k( x 2 2 − x 1 2 ) 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadUgacaGGOaGaamiEamaaDaaaleaacaaIYaaabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadIhadaqhaaWcbaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGccaGGPaaabaGaaGOmaaaaaaa@3CC1@

Remarque :

 

II. Energie potentielle

1. Définition

L’énergie potentielle est l’énergie que possède un système du fait de sa position par rapport au système avec lequel il est en interaction.

 

2. Energie potentielle de pesanteur

Définition : L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie que possède un système du fait de sa position par rapport à la Terre.

E pp =mgz MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamiCaiaadchaaeqaaOGaeyypa0JaamyBaiaadEgacaWG6baaaa@345C@  avec { E pp : énergie potentielle de pesanteur (J) g: intensité de la pesanteur (m .s -2 ) z: altitude (m) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@7F4B@

Remarque : Si un système passe de l’altitude z=0 à l’altitude z sous l’action d’une force F → MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6C@ , on montre que E PP =W( F → ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamiuaiaadcfaaeqaaOGaeyypa0Jaam4vaiaacIcaceWGgbGbaSaacaGGPaaaaa@3451@ .

 

3. Energie potentielle élastique

Définition : L’énergie potentielle élastique d’un système {solide-ressort} est l’énergie qu’il possède du fait de son allongement. On montre que :

E pél = 1 2 k x 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamiCaiaadMoacaWGSbaabeaakiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaam4AaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaa@3746@  avec { E pél : énergie potentielle élastique (J) k: constante de raideur du ressort (N .m -1 ) x: allongement du ressort (m) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@9003@

 

III. Energie mécanique

1. Système solide ressort

Définition : On appelle énergie mécanique d’un système solide ressort la somme : E m = E c + E pél MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGccqGH9aqpcaWGfbWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaOGaey4kaSIaamyramaaBaaaleaacaWGWbGaamy6aiaadYgaaeqaaaaa@379B@

Remarque : l’énergie mécanique peut s’écrire E m = 1 2 x ˙ 2 + 1 2 k x 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiqadIhagaGaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaam4AaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaa@3945@ . Calculons d E m dt MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaaakeaacaWGKbGaamiDaaaaaaa@325C@ .

 

Or m. x ¨ +k.x=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaad2gacaGGUaGabmiEayaadaGaey4kaSIaam4Aaiaac6cacaWG4bGaeyypa0JaaGimaaaa@357B@  (équation différentielle du système lorsqu’il n’y a pas de frottements). On en déduit dEm dt =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGTbaabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaaGimaaaa@33E6@  et E m =cte MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGccqGH9aqpcaWGJbGaamiDaiaadwgaaaa@3352@ .

 

L’énergie mécanique d’un système {solide - ressort} se conserve si le système évolue sans frottements.

 

 

2. Mouvement d’un projectile

Dans le cas de la chute libre, nous avons vu au chapitre précédent que { m x ¨ =0 m z ¨ =−mg MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaaceaaeaqabeaacaWGTbGabmiEayaadaGaeyypa0JaaGimaaqaaiaad2gaceWG6bGbamaacqGH9aqpcqGHsislcaWGTbGaam4zaaaacaGL7baaaaa@3835@ .

L’énergie cinétique selon Ox s’écrit E c x = 1 2 m x ˙ 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaacaWGTbGabmiEayaacaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@35E2@

Sa dérivée est dE c x dt =m x ˙ x ¨ ⇒ dE c x dt =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaaGcbaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaamyBaiqadIhagaGaaiqadIhagaWaaiabgkDiEpaalaaabaGaamizaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaaGcbaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaaGimaaaa@4131@  (car m x ¨ =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaad2gaceWG4bGbamaacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3148@  ).

L’énergie cinétique selon Ox est donc constante et on peut poser E c x =a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaOGaeyypa0Jaamyyaaaa@3260@ .

L’énergie cinétique selon Oz s’écrit E c z = 1 2 m z ˙ 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadQhaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaacaWGTbGabmOEayaacaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@35E6@

Sa dérivée est dE c z dt =m z ˙ z ¨ ⇒ dE c z dt =−mg z ˙ MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadQhaaeqaaaGcbaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaamyBaiqadQhagaGaaiqadQhagaWaaiabgkDiEpaalaaabaGaamizaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadQhaaeqaaaGcbaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaeyOeI0IaamyBaiaadEgaceWG6bGbaiaaaaa@4452@  (car m z ¨ =−mg MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaad2gaceWG6bGbamaacqGH9aqpcqGHsislcaWGTbGaam4zaaaa@335B@  ).

En intégrant, l’énergie cinétique selon Oz peut s’écrire E c z =−mgz+b MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadQhaaeqaaOGaeyypa0JaeyOeI0IaamyBaiaadEgacaWG6bGaey4kaSIaamOyaaaa@370F@ .

L’énergie mécanique est donc :

E m = E c + E pp ⇔ E m =E c x +E c z + E pp ⇔ E m =a−mgz+b+mgz ⇔ E m =a+b ⇔ E m =cte MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@65CC@

L’énergie mécanique d’un objet en chute libre se conserve.