Â
Travail et énergie
Â
I. Travail d’une force
1. Travail d’une force constante
Soit une force
F
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@
constante dont le point d’application se
déplace d’un point A vers un point B.

Définition : On
appelle travail de la force
F
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@
sur le trajet AB la quantité :
W
AB
(
F
→
)=
F
→
.
AB
→
 avec {
W
AB
(
F
→
) en joules (J)
F en newtons (N)
AB en mètres (m)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@6A01@
Remarque 1Â : Le travail d’une force constante
ne dépend pas du chemin suivi.
Â
Remarque 2Â :
W
AB
(
F
→
)=
F
→
×
AB
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdf9irVeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaadaabauaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpceWGgbGbaSaacqGHxdaTdaWhcaqaaiaadgeacaWGcbaacaGLxdcaaaa@43DC@
Â
2. Travail élémentaire d’une force quelconque
Définition : On
appelle travail élémentaire d’une force
F
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@
le travail de
F
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@
sur un déplacement élémentaire
dl
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaamaaFiaabaGaamizaiaadYgaaiaawEniaaaa@311C@
(portion très petite de la trajectoire
considérée comme rectiligne).
δW=
F
→
.
dl
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaamaaL4babaGaeqiTdqMaam4vaiabg2da9iqadAeagaWcaiaac6cadaWhcaqaaiaadsgacaWGSbaacaGLxdcaaaaaaa@3679@
Remarque :
La puissance instantanée de la
force s’écrit :
P=
δW
δt
=
F
→
.
dl
→
dt
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadcfacqGH9aqpdaWcaaqaaiabes7aKjaadEfaaeaacqaH0oazcaWG0baaaiabg2da9iqadAeagaWcaiaac6cadaWcaaqaamaaFiaabaGaamizaiaadYgaaiaawEniaaqaaiaadsgacaWG0baaaaaa@3CAC@
avec
dl
→
dt
=
v
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaamaalaaabaWaa8HaaeaacaWGKbGaamiBaaGaay51GaaabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JabmODayaalaaaaa@3520@
.
D’oùÂ :
P=
F
→
.
v
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadcfacqGH9aqpceWGgbGbaSaacaGGUaGabmODayaalaaaaa@3205@
|
Â
3. Expression générale du travail
Le travail d’une force
F
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@
sur un déplacement quelconque AB est égal à la
somme de tous les travaux élémentaires sur le déplacement AB.
W
AB
(
F
→
)=
∫
A
B
δW
⇔
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWdXbqaaiabes7aKjaadEfaaSqaaiaadgeaaeaacaWGcbaaniabgUIiYdGccqGHuhY2aaa@3C46@
W
AB
(
F
→
)=
∫
A
B
F
→
.
dl
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWdXbqaaiqadAeagaWcaiaac6cadaWhcaqaaiaadsgacaWGSbaacaGLxdcaaSqaaiaadgeaaeaacaWGcbaaniabgUIiYdaaaa@3C7C@

4. Travail du poids d’un corps
W
AB
(
P
→
)=
∫
A
B
P
→
.
dl
→
⇔
W
AB
(
P
→
)=
P
→
.
∫
A
B
dl
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadcfagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWdXbqaaiqadcfagaWcaiaac6cadaWhcaqaaiaadsgacaWGSbaacaGLxdcaaSqaaiaadgeaaeaacaWGcbaaniabgUIiYdGccqGHuhY2caWGxbWaaSbaaSqaaiaadgeacaWGcbaabeaakiaacIcaceWGqbGbaSaacaGGPaGaeyypa0JabmiuayaalaGaaiOlamaapehabaWaa8HaaeaacaWGKbGaamiBaaGaay51GaaaleaacaWGbbaabaGaamOqaaqdcqGHRiI8aaaa@4DF7@
On en déduit :
W
AB
(
P
→
)=
P
→
.
AB
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaamaaL4babaGaam4vamaaBaaaleaacaWGbbGaamOqaaqabaGccaGGOaGabmiuayaalaGaaiykaiabg2da9iqadcfagaWcaiaac6cadaWhcaqaaiaadgeacaWGcbaacaGLxdcaaaaaaa@3893@
Â
Remarque : L’expression ci-dessus montre
que le travail du poids d’un corps ne
dépend pas du chemin suivi. Cette propriété est tout à fait logique, puisque le poids est une force constante dans
une région limitée de l’espace (
P
→
=m
g
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadcfagaWcaiabg2da9iaad2gaceWGNbGbaSaaaaa@316B@
avec
g
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadEgagaWcaaaa@2E8C@
vecteur constant : voir le chapitre chute verticale d’un solide).

Remarque :
W
AB
(
P
→
)=
P
→
.
AB
→
=mg×AB×cosθ
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadcfagaWcaiaacMcacqGH9aqpceWGqbGbaSaacaGGUaWaa8HaaeaacaWGbbGaamOqaaGaay51GaGaeyypa0JaamyBaiaadEgacqGHxdaTcaWGbbGaamOqaiabgEna0kGacogacaGGVbGaai4CaiabeI7aXbaa@4574@
Or
AB×cosθ=
z
A
−
z
B
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadgeacaWGcbGaey41aqRaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqiUdeNaeyypa0JaamOEamaaBaaaleaacaWGbbaabeaakiabgkHiTiaadQhadaWgaaWcbaGaamOqaaqabaaaaa@3B9A@
,
d’où
W
AB
(
P
→
)=mg(
z
A
−
z
B
)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadcfagaWcaiaacMcacqGH9aqpcaWGTbGaam4zaiaacIcacaWG6bWaaSbaaSqaaiaadgeaaeqaaOGaeyOeI0IaamOEamaaBaaaleaacaWGcbaabeaakiaacMcaaaa@3B8D@
.
Â
5. Travail d’une force appliquée à l’extrémité d’un ressort
Remarque :
F
→
=−
T
→
 (tension du ressort avecÂ
T
→
=k
x
→
). D'oùÂ
F
→
=−(−k
x
→
)=k
x
→
=kx
i
→
Â
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaiabg2da9iabgkHiTiqadsfagaWcaiaabccacaqGOaGaaeiDaiaabwgacaqGUbGaae4CaiaabMgacaqGVbGaaeOBaiaabccacaqGKbGaaeyDaiaabccacaqGYbGaaeyzaiaabohacaqGZbGaae4BaiaabkhacaqG0bGaaeiiaiaabggacaqG2bGaaeyzaiaabogacaqGGaGabmivayaalaGaeyypa0Jaam4AaiqadIhagaWcaiaabMcacaqGUaGaaeiiaiaabseacaqGNaGaae4BaiaabMpacaqGGaGabmOrayaalaGaeyypa0JaeyOeI0IaaiikaiabgkHiTiaadUgaceWG4bGbaSaacaGGPaGaeyypa0Jaam4AaiqadIhagaWcaiabg2da9iaadUgacaWG4bGabmyAayaalaGaaeiiaaaa@610B@
.

Lorsque l’allongement du ressort passe de x à x+dx, on
peut considérer la force
F
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@
comme constante.
Le travail élémentaire de
F
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@
sur le petit déplacement
d
x
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadsgaceWG4bGbaSaaaaa@2F86@
s’écrit :
δW=
F
→
.d
x
→
=kx
i
→
.dx
i
→
=kxdx
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiabes7aKjaadEfacqGH9aqpceWGgbGbaSaacaGGUaGaamizaiqadIhagaWcaiabg2da9iaadUgacaWG4bGabmyAayaalaGaaiOlaiaadsgacaWG4bGabmyAayaalaGaeyypa0Jaam4AaiaadIhacaWGKbGaamiEaaaa@4100@
.
Le travail de
F
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6B@
sur le déplacement AB est donc :
W
AB
(
F
→
)=
∫
x
1
x
2
kxdx
⇔
W
AB
(
F
→
)=
[
1
2
k
x
2
]
x1
x2
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWdXbqaaiaadUgacaWG4bGaamizaiaadIhaaSqaaiaadIhadaWgaaadbaGaaGymaaqabaaaleaacaWG4bWaaSbaaWqaaiaaikdaaeqaaaqdcqGHRiI8aOGaeyi1HSTaam4vamaaBaaaleaacaWGbbGaamOqaaqabaGccaGGOaGabmOrayaalaGaaiykaiabg2da9maadmaabaWaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaacaWGRbGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOGaay5waiaaw2faamaaDaaaleaacaWG4bGaaGymaaqaaiaadIhacaaIYaaaaaaa@4FB3@
d’oùÂ :
W
AB
(
F
→
)=
k(
x
2
2
−
x
1
2
)
2
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqaamaaaOqaaiaadEfadaWgaaWcbaGaamyqaiaadkeaaeqaaOGaaiikaiqadAeagaWcaiaacMcacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadUgacaGGOaGaamiEamaaDaaaleaacaaIYaaabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadIhadaqhaaWcbaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGccaGGPaaabaGaaGOmaaaaaaa@3CC1@
Remarque :

Â
II. Energie potentielle
1. Définition
L’énergie potentielle est l’énergie que possède un système
du fait de sa position par rapport au système avec lequel il est en
interaction.
Â
2. Energie potentielle de pesanteur
Définition : L’énergie
potentielle de pesanteur est l’énergie que possède un système du fait de sa
position par rapport à la Terre.
E
pp
=mgz
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamiCaiaadchaaeqaaOGaeyypa0JaamyBaiaadEgacaWG6baaaa@345C@
avec
{
E
pp
: énergie potentielle de pesanteur (J)
g: intensité de la pesanteur (m
.s
-2
)
z: altitude (m)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@7F4B@

Remarque : Si un
système passe de l’altitude z=0 à l’altitude z sous l’action d’une force
F
→
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiqadAeagaWcaaaa@2E6C@
,
on montre que
E
PP
=W(
F
→
)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamiuaiaadcfaaeqaaOGaeyypa0Jaam4vaiaacIcaceWGgbGbaSaacaGGPaaaaa@3451@
.
Â
3. Energie potentielle élastique
Définition : L’énergie
potentielle élastique d’un système {solide-ressort} est l’énergie qu’il possède
du fait de son allongement. On montre que :
E
pél
=
1
2
k
x
2
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamiCaiaadMoacaWGSbaabeaakiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaam4AaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaa@3746@
avec
{
E
pél
: énergie potentielle élastique (J)
k: constante de raideur du ressort (N
.m
-1
)
x: allongement du ressort (m)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@9003@
Â
III. Energie mécanique
1. Système solide ressort
Définition : On
appelle énergie mécanique d’un système solide ressort la somme :
E
m
=
E
c
+
E
pél
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGccqGH9aqpcaWGfbWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaOGaey4kaSIaamyramaaBaaaleaacaWGWbGaamy6aiaadYgaaeqaaaaa@379B@
Remarque : l’énergie
mécanique peut s’écrire
E
m
=
1
2
x
˙
2
+
1
2
k
x
2
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiqadIhagaGaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaam4AaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaa@3945@
.
Calculons
d
E
m
dt
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaaakeaacaWGKbGaamiDaaaaaaa@325C@
.
dEm
dt
=
d(
1
2
m
x
˙
2
+
1
2
k
x
2
)
dt
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGTbaabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGKbGaaiikamaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaamyBaiqadIhagaGaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaam4AaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGPaaabaGaamizaiaadshaaaaaaa@411B@
dEm
dt
=
1
2
m
d(
x
˙
2
)
dt
+
1
2
k
d(
x
2
)
dt
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGTbaabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaacaWGTbWaaSaaaeaacaWGKbGaaiikaiqadIhagaGaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaacMcaaeaacaWGKbGaamiDaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaiaadUgadaWcaaqaaiaadsgacaGGOaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaacMcaaeaacaWGKbGaamiDaaaaaaa@454F@
dEm
dt
=2.m.
x
˙
.
x
¨
+2.k.x.
x
˙
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGTbaabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaaGOmaiaac6cacaWGTbGaaiOlaiqadIhagaGaaiaac6caceWG4bGbamaacqGHRaWkcaaIYaGaaiOlaiaadUgacaGGUaGaamiEaiaac6caceWG4bGbaiaaaaa@3FA4@
dEm
dt
=2.
x
˙
.(m.
x
¨
+k.x)
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGTbaabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaaGOmaiaac6caceWG4bGbaiaacaGGUaGaaiikaiaad2gacaGGUaGabmiEayaadaGaey4kaSIaam4Aaiaac6cacaWG4bGaaiykaaaa@3DD7@
|
Â
Or
m.
x
¨
+k.x=0
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaad2gacaGGUaGabmiEayaadaGaey4kaSIaam4Aaiaac6cacaWG4bGaeyypa0JaaGimaaaa@357B@
(équation différentielle du système lorsqu’il
n’y a pas de frottements). On en déduit
dEm
dt
=0
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGTbaabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaaGimaaaa@33E6@
et
E
m
=cte
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweadaWgaaWcbaGaamyBaaqabaGccqGH9aqpcaWGJbGaamiDaiaadwgaaaa@3352@
.
Â
L’énergie mécanique d’un
système {solide - ressort} se conserve si le système évolue sans frottements.
Â

Â
2. Mouvement d’un projectile
Dans le cas de la chute libre, nous avons vu au chapitre
précédent que
{
m
x
¨
=0
m
z
¨
=−mg
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaaceaaeaqabeaacaWGTbGabmiEayaadaGaeyypa0JaaGimaaqaaiaad2gaceWG6bGbamaacqGH9aqpcqGHsislcaWGTbGaam4zaaaacaGL7baaaaa@3835@
.

L’énergie cinétique selon Ox s’écrit
E
c
x
=
1
2
m
x
˙
2
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaacaWGTbGabmiEayaacaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@35E2@
Sa dérivée est
dE
c
x
dt
=m
x
˙
x
¨
⇒
dE
c
x
dt
=0
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaaGcbaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaamyBaiqadIhagaGaaiqadIhagaWaaiabgkDiEpaalaaabaGaamizaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaaGcbaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaaGimaaaa@4131@
(car
m
x
¨
=0
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaad2gaceWG4bGbamaacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3148@
).
L’énergie cinétique selon Ox est donc constante et on peut
poser
E
c
x
=a
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadIhaaeqaaOGaeyypa0Jaamyyaaaa@3260@
.
L’énergie cinétique selon Oz s’écrit
E
c
z
=
1
2
m
z
˙
2
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadQhaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaacaWGTbGabmOEayaacaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@35E6@
Sa dérivée est
dE
c
z
dt
=m
z
˙
z
¨
⇒
dE
c
z
dt
=−mg
z
˙
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadQhaaeqaaaGcbaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaamyBaiqadQhagaGaaiqadQhagaWaaiabgkDiEpaalaaabaGaamizaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadQhaaeqaaaGcbaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaeyOeI0IaamyBaiaadEgaceWG6bGbaiaaaaa@4452@
(car
m
z
¨
=−mg
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaad2gaceWG6bGbamaacqGH9aqpcqGHsislcaWGTbGaam4zaaaa@335B@
).
En intégrant, l’énergie
cinétique selon Oz peut s’écrire
E
c
z
=−mgz+b
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqaaeaabiqabmaaaOqaaiaadweacaWGJbWaaSbaaSqaaiaadQhaaeqaaOGaeyypa0JaeyOeI0IaamyBaiaadEgacaWG6bGaey4kaSIaamOyaaaa@370F@
.
L’énergie mécanique est
donc :
E
m
=
E
c
+
E
pp
⇔
E
m
=E
c
x
+E
c
z
+
E
pp
⇔
E
m
=a−mgz+b+mgz
⇔
E
m
=a+b
⇔
E
m
=cte
MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8qqaqFfpec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@65CC@
L’énergie mécanique d’un objet en chute libre se conserve.

Â
Â
Â